在日常的学习、工作、生活中，肯定对各类范文都很熟悉吧。范文怎么写才能发挥它最大的作用呢？下面我给大家整理了一些优秀范文，希望能够帮助到大家，我们一起来看一看吧。
小学和初中数学公式表篇一
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小学数学课堂教学合作学习方法初探
随着新课改的全面展开，课堂上教师们都在积极尝试构建“小组合作”的学习模式，忽然间，合作学习似乎成为一种时尚。其中虽不乏精彩片段，但同时也存在着相当部分的“生搬硬套”现象，教师们在操作中上存在着不少误区，导致合作学习形式化、表演化。往往是教师故设问题，宣布讨论，学生便匆忙分组活动。这种现象在公开课尤为常见，可仔细一看，这热闹背后的“合作学习”是只“作”不“合”，试想，这样的轰轰烈烈，五彩斑斓，有“形”无“质”的合作，将会把学生引向何方？有多大的实效？在课堂教学中我们又该做些什么呢？
一、现状分析
（一）合作小组随意搭配
按坐就近，临时凑合。有些教师在组织学生小组合作学习是，往往要求前两排2名学生转身和后排2名学生组成学习小组，而有些教师在公开课、研讨课时则是临时凑合一个小组。这样的学习小组由教师统一规定小组成员，就违背小组合作的自愿原则，常常难以达到合作的和谐进行。再就是让学生自由结伴组合，有些教师在组织学生小组合作时，让学生自由结伴，这样做，固然是尊重了学生自由选择权，但是常常出现不顾及他们的知识水平、兴趣爱好、能力、性别、个性差异等因素，造成组际间的不均衡，形成学习小组间不平等的竞争机制，违背了“组间同质，组内异质”的原则。
（二）学生缺乏必要的小组合作技能
在教师组织合作学习的过程中，常常出现一些现象：当教师要求学生小组合作时，教室里立即出现一片嗡嗡声，学生七嘴八舌，只顾自己将，不懂得听别人讲;或是在小组中，学优生主宰一切，承担了主要责任，其他学生则处于从属被忽略的状态，或是人云亦云。他们的思维也不自觉地趋同于教师的代言人——小组组织者的指向，致使某些学生的创造思维在这样的环境中往往得不到认同，富有个性色彩的求异思维不能得到充分的发挥。组际交流时常常以“我”而不能以“我们”进行表达。如此等等现象都说明了学生缺乏必要的小组合作学习技能，这种无效的合作不但达不到“在合作中学会学习，在学习中学会合作”的目标，而且浪费了宝贵的时间，影响学习目标的达成度，事倍功半。
（三）小组合作内容物挑战性
有些教师为了追求课堂气氛的热烈，或为公开课装饰门面，以为有了新的学习方式，不依据教学内容，环境条件和合作学习的适用范围，一律采用小组合作学习方式。如，某教室在一节“异分母加减法”课上，教师在复习完同分母分数的加减法后，开始提问：“我们已经学会了同分母分数的加减法，明白了同分母分数为什么可以直接相加减的道理是它们的分数那么，异分母分数能不能直接相加减呢？请同学们小组合作讨论一下。”试想，这样一个简单的判断问题值得小组合作研究吗？这样一个没有一定挑战性的问题，它完全可以让学生独立思考，无需依赖别人，根据自己已有的知识经验就能做出判断，就不用进行小组合作。由于没有思维含量和这种方式的单一，学生会逐渐感到厌倦，失去参与讨论的兴趣，教学效率低下。
（四）活动放任自流，缺少主导性
小组合作学习虽然给了学生更多的自主权，但并不是“放羊式”的教学，不需要教师的主导作用。实际教学中，有些教师对学生小组合作的规则要求不甚明确，小组合作时，常出现貌似热烈，其实非常混乱的教学场面。如：在教学“18和2”的最小公倍数时，教师江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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先布置学生小组讨论，小组汇报时，甲组学生用列举法找出了18和24的最小公倍数是72，而乙组一位学生说：“我们小组用的是分解因数的方法：18=2*3*3,24=2*2*2*3，把18和24的公有质因数2和3各取一个，再乘以18和24各自独有的质因数，就得到18和24的最小公倍数是2*3*3*2*2=72。”这时，甲组的同学开始质问：“为什么共有的质因数各取一个呢？”乙组同学回答：“因为各取一个就表示有了18里面的质因数2和3，也就有了24里面的质因数2和3。”甲组同学又问：“为什么要乘以各自独有的质因数呢？”乙组同学一试无法回答，甲组同学很得意地否定乙组同学的结论。教师此时站在讲台上观望、等待学生的讨论。其实，这是一个难度很大的问题，也是关键性的问题，它有待于教师的启发引导才能顺利解决这个具有思考价值的问题，而教师的观望等待使得教师的主导作用没有得到应有的发挥。
二、应对策略
（一）打破学科界限，培养合作意识——合作学习的前提
在教学中要顺畅、有效地开展小组合作学习活动，让学生在小组合作中焕发活力，必须要是学生有合作的意识。在日常生活中，教师应紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，组织学生开展丰富的活动，让学生感觉到合作的需要。例如：组织一些游戏，通过智力抢答、拔河比赛、接力传球等团体比赛，让学生发现需要和别人合作，共同努力，才能取得胜利;也可结合一些课外活动，如：收集数据、量量算算、调查生活中的数学等，让学生在实践中得到一种体验，感觉到合作是一种富有乐趣、能有效地解决实际问题的有效途径。
（二）感受合作过程，培养合作能力——合作学习的基础 在师生之间，生生之间交往互动的数学活动中，教师要充分利用学生的生活经验，抓住时机，设计生动有趣的活动，让学生参与小组合作活动，积极探索，对话互动，谈论交流，理解和认识数学知识，在小组合作中培养学生的合作能力。例如：在学习长方形的周长计算后，学生思考解答“你能用一根20厘米长的铁丝围出每边长度都是整厘米的长方形或正方形吗？”时，实时引用小组合作学习模式，使师生之间、生生之间相互补充，相互启发，以达到训练思维品质，发展学生智力的目的，产生双赢的效果。具体实施可分以下三个步骤：
1、独立思考：让每个学生在小组合作之前都有一个独立思考的时间和空间，让学生审清题意，想一想自己有那些想法？可以怎样来围每边长度都是整厘米的长方形或正方形？交流时不要让自己仅仅是一个听众。
2、组内交流：小组成员交流各自的思考成果，说说自己是怎样想的，各抒己见，各种想法互相交汇，定能激起学生智慧的火花，让小组内学生形成初步共识，得出结论——用一根20厘米长的铁丝围出每边长度都是整厘米的长方形或正方形，可以围出四个长方形和一个正方形（具体情况略）。
3、组际交流：这是各小组之间互相学习、互相竞争、互相促进的过程，通过组际交流可以把小组的认知成果转化为全体学生的共同认知成果——只要运用长方形周长=（长+宽）*2，思考（长+宽）*2=20厘米，即，长+宽=10厘米就可以求出这道题目的解，进一步深化了对知识的理解，互相启发，开拓思维，让学生创造性的解决问题。提高学生的学习兴趣，发展学生的思维能力。让学生在合作活动中培养学生主动探索的实践能力，同时也是提高学生小组合作学习能力的有效途径。
（三）师生互动，实时交流——合作学习的关键 合作学习强调学生的主体作用，同时也重视教师的主导作用。只有实现“主体”和“主导”双向互动，合作学习才能成为一种有效的学习方式。
1、当好组织者。《课程标准》指出：“教师是学生数学学习的组织者… …”，只有教师的精心组织，小组合作学习才能活跃、和谐，才能有序、有效地进行。
（1）合理组建合作学习的组织。合作小组成员的搭配应根据学生的学业成绩、学习能力、性别、兴趣爱好、家庭背景进行，一般4——6人一组，尽量保证一个小组内的学生江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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各具特色，能够相互取长补短，即遵循“组内异质”原则，形成互补，从而使小组活动有更多、更丰富的信息输入输出，可以激发更多的观点，使全班形成更深入、更全面的认识。组建好的合作学习小组间力求均衡，无明显差异，便于公平竞争，体现“组间同质”的原则。
（2）培养学生掌握交流技巧。导致合作学习小组解体或学习不能顺利进行的主要原因就是小组成员不会合作，学生不合作的原因往往也不是学生缺乏合作的愿望，而是学生缺乏合作的方法——交流技巧。所以，教师最好在传授知识的同时教学生掌握必要的交流技能。例如：将组内成员明确分工，运用“手势”发挥管理作用;同时使学生参与管理过程，如何倾听别人的发言，养成认真听取别人意见的习惯；自己认真思考，大胆发言，敢于把自己的探索发现过程用语言表达出来；如何“提建议”；如何说服别人，评价他人等等。好的交流技能对学生的发展具有重要的价值，它们不仅能够使学生在小组里学到更多东西，同时，对同学与家人和朋友和睦相处以及未来事业上取得成功都是至关重要的。
2、当好引导者。作为引导着，教师要精心设计问题情境，设身处地感受学生的所思所想，引发学生合作学习的动机，提出合作学习的目标，要结合具体的教学内容，活动前向学生提出合作建议。如：教学“三角形面积的计算”，小组合作推导公式前，可以提出以下几点合作建议：（1）想一想与三角形有关的有那些图形；（2）用多种方法验证三角形面积计算公式；（3）思考公式推导过程对我们的启发。对特定的教学内容，可以适当地指导思路和方法，如：我在一节数学活动课“我们认识的数”中，教学“抓花生”这一环节时，教师讲清合作要求：a.每组先派一名学生抓花生；b.抓花生是只能抓一把,但要尽可能多抓；c.再小组内猜一猜，这一把花生有多少粒；d.再有一人数一数有多少粒；e.讨论：抓一把花生与抓一把糖果的粒数哪个多？这样吧合作的步骤交代清楚，小组学习就能有条不紊地展开。提出合作建议，提示合作流程，让学生学会合作。
3、当好合作者
在小组开展合作与交流时，教师的角色又变为一个合作者，要使小组合作真正富有成效，教师除了适时的组织、引导外，还必须置身于学习小组中，参与到学生中间去，在内容、时间、学生的情绪等方面，适时进行调控，以达到相互学习，相互提高的目的。在这个过程中，教师始终都要采用一种友好的、平等的、建设性的态度和行为，既不能过多地干涉学生的学习过程，又不能对学有困难的学生袖手旁观，要交给学生一些探索、发现的方法，让学生学会探索，学会发现，不断引发学生的思维碰撞，把学生的探索引向纵深处。
（四）组织开展长期有效的实践活动——合作学习的补充和延伸
1、充分认识合作学习能力的培养是一个长期的过程。合作学习能力的培养与其它技能的获得一样，需要师生坚持不懈的时间与努力，同时，合作能力与一个民族的性格密切相关，适当改变一个人的性格以适应合作学习的需要，应从小学低段开始，进行有意识的培养。在实践中，可以“小步子”原则为基础，从两人合作起步，逐渐增加合作参与人数，教师对取得较好成绩或有明显进步的小组要及时的表扬和鼓励，提高他们的信心。
2、充分发挥实践活动的诸多优势，使合作能力在课外也能得到联系和提高。实践活动给学生提供了一个自由开放的空间，同时，在学习时间、学习目标、学习内容、教学评价等方面实现了较大的开放，使学生的心态相对放松，有利于他们发挥最大限度的潜能。学生在活动中相互启发、相互促进，对那些平时比较胆小的学生来说，是一个很好的发言机会；另一方面，对有能力的学生可以充分发挥他们的带动性。这样，可以使一些学生组成一个学习整体，同学们在这个集体中积极参与、相互协作，若能长时间的坚持，定会对自主探究、合作学习的课堂模式的形成提供良好的借鉴。
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小学和初中数学公式表篇二
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小学至初中数学所有公式
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式、正方形 c周长 s面积 a边长 周长＝边长×4 c=4a 面积=边长×边长 s=a×a 2、正方体 v:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 s表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 v=a×a×a 3、长方形
c周长 s面积 a边长
周长=(长+宽)×2 c=2(a+b)面积=长×宽 s=ab 4、长方体
v:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
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(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 s=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 v=abh 5 三角形 s面积 a底 h高
面积=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形
s面积 c周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径 c=∏d=2∏r(2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高
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（4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数 和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数(或者 和－小数＝大数)差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数(或 小数＋差＝大数)植树问题 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题
追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
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利润与折扣问题
利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算
1平方千米=100公顷 1 公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 重量单位换算
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)的有:46911月平年2月28天, 闰年2月29天
平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 小学数学几何形体周长 面积 体积计算公式
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1、长方形的周长=（长+宽）×2 c=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4 c=4a
3、长方形的面积=长×宽 s=ab
4、正方形的面积=边长×边长 s=a.a= a
5、三角形的面积=底×高÷2 s=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高 s=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 s=（a＋b）h÷2
8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
10、圆的面积=圆周率×半径×半径 常见的初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行
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江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(sas)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(aas)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(sss)有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边公理(hl)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
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等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
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49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
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70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h 83(1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d 84(2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85(3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
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推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
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104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
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121①直线l和⊙o相交 d＜r ②直线l和⊙o相切 d=r ③直线l和⊙o相离 d＞r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞r+r ②两圆外切 d=r+r ③两圆相交 r-r＜d＜r+r(r＞r)④两圆内切 d=r-r(r＞r)⑤两圆内含d＜r-r(r＞r)江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：l=n兀r／180 145扇形面积公式：s扇形=n兀r^2／360=lr／2 146内公切线长= d-(r-r)外公切线长= d-(r+r)（还有一些，大家帮补充吧）实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a 江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理 判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)倍角公式
tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化积
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2 cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r 注： 其中 r 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosb 注：角b是边a和边c的夹角 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+dx+ey+f=0 注：d2+e2-4f>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 s=c*h 斜棱柱侧面积 s=c'*h 正棱锥侧面积 s=1/2c*h' 正棱台侧面积 s=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 s=1/2(c+c')l=pi(r+r)l 球的表面积 s=4pi*r2 圆柱侧面积 s=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 s=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 v=1/3*s*h 圆锥体体积公式 v=1/3*pi*r2h 江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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斜棱柱体积 v=s'l 注：其中,s'是直截面面积，l是侧棱长 柱体体积公式 v=s*h 圆柱体 v=pi*r2h 江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！
小学和初中数学公式表篇三
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小升初数学总复习资料归纳
常用的数量关系式
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1、正方形（c：周长 s：面积 a：边长）
周长＝边长×4 c=4a 面积=边长×边长 s=a×a
2、正方体（v:体积 a:棱长）
表面积=棱长×棱长×6 s表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 v=a×a×a
3、长方形（c：周长 s：面积 a：边长）
周长=(长+宽)×2 c=2(a+b)面积=长×宽 s=ab
4、长方体（v:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 s=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 v=abh
5、三角形（s：面积 a：底 h：高）
面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高
6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）
面积=底×高 s=ah
7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）
面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圆形（s：面积 c：周长 л d=直径 r=半径）
(1)周长=直径×л=2×л×半径 c=лd=2лr(2)面积=半径×半径×л
9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）
(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd)(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径
10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）
体积=底面积×高÷3
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11、总数÷总份数＝平均数
12、和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数
13、和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或者 和－小数＝大数)
14、差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数(或 小数＋差＝大数)
15、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间
16、浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
17、利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米
1分米=10厘米 1米=100厘米
1厘米=10毫米
面积单位换算
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年
1年=12月
大月(31天)有:135781012月
小月(30天)的有:46911月
平年2月28天, 闰年2月29天
平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时
1时=60分
1分=60秒
1时=3600秒
基本概念
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第一章 数和数的运算
一
概念
（一）整数整数的意义
自然数和0都是整数。
自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3„„叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
3计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿„„都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12„„其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合昆明奥数培训中心 http:// 专业奥数学习资源，完全免费，无须注册！
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数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18 „„
3的倍数有3、6、9、12、15、18 „„ 其中6、12、18„„是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份„„ 得到的十分之几、百分之几、千分之几„„ 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几„„
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25、0.368 都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如： 3.25、5.26 都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如： 41.7、25.3、0.23 都是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如： 4.33 „„ 3.1415926 „„
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：∏
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如： 3.555 „„ 0.0333 „„ 12.109109 „„
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 „„的循环节是“ 9 ”，0.5454 „„的循环节是“ 54 ”。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如： 3.111 „„
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0.5656 „„
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222 „„ 0.03333 „„
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 „„ 简写作
0.5302302 „„ 简写作。
（三）分数分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用“%”来表示。百分号是表示百分数的符号。
二
方法
（一）数的读法和写法
1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
2.整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
3.小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5.分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
6.分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
7.百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
8.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
（二）数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还昆明奥数培训中心 http:// 专业奥数学习资源，完全免费，无须注册！
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可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
1.准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
2.近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
3.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
4.大小比较
1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
2.比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大„„
3.比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
（三）数的互化
1.小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
3.一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。
7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。
3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4.成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质；
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。
（五）约分和通分
约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
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三
性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1.小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍„„
2.小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍„„
3.小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1.被除数÷除数= 被除数/除数
2.因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
3.被除数 相当于分子，除数相当于分母。
四
运算的意义
（一）整数四则运算
1整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数+加数=和
一个加数=和－另一个加数
2整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在乘法里，0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。
一个因数× 一个因数 =积
一个因数=积÷另一个因数
整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商
除数=被除数÷商
被除数=商×除数
（二）小数四则运算
1.小数加法：
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小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2.小数减法：
小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.3.小数乘法：
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几„„是多少。
4.小数除法：
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
5.乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
（三）分数四则运算
1.分数加法：
分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2.分数减法：
分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3.分数乘法：
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5.分数除法：
分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
（四）运算定律
1.加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。
2.加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)。
3.乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
4.乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)。5.乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。
6.减法的性质：
从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。
（五）运算法则
1.整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
2.整数减法计算法则：
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相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
3.整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
4.整数除法计算法则：
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。
5.小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。
6.除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。
7.除数是小数的除法计算法则：
先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8.同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9.异分母分数加减法计算方法: 先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10.带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11.分数乘法的计算法则: 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
12.分数除法的计算法则: 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
（六）运算顺序
1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3.没有括号的混合运算: 同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。
4.有括号的混合运算: 先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
5.第一级运算：
加法和减法叫做第一级运算。
6.第二级运算：
乘法和除法叫做第二级运算。
五
应用
（一）整数和小数的应用简单应用题
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（1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。
（2）解题步骤：
a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。
b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。
c检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。复合应用题
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。
求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
比较两数差与倍数关系的应用题。
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。
已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。
（4）解答连乘连除应用题。
（5）解答三步计算的应用题。
（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。
(3)解答加法应用题：
a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
(4)解答减法应用题：
a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。
-b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
(5)解答乘法应用题：
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。
(6)解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。
c 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。
d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。
（7）常见的数量关系：
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总价= 单价×数量
路程= 速度×时间
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量
3典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数
最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数
最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为
+ = , 汽车的平均速度为 2 ÷
=75（千米）
（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）
总数量÷单一量=份数（反归一）
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米，需要多少天？
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0 ÷（477 4 ÷ 31）=45（天）
（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量
单位数量×昆明奥数培训中心 http:// 专业奥数学习资源，完全免费，无须注册！
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单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80 0 × 6 ÷ 4=1200（米）
（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
解题规律：（和＋差）÷2 = 大数
大数－差=小数
（和－差）÷2=小数
和－小数= 大数
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12，由此得到现在的乙班是（9 4 － 12）÷ 2=41（人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87（人），甲班为 9 4 － 87=7（人）
（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。
解题规律：和÷倍数和=标准数
标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。
列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18 × 5+7=97（辆）
（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷（倍数－1）= 标准数
标准数×倍数=另一个数。
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）„乙绳剩下的长度，17 × 3=51（米）„甲绳剩下的长度，29-17=12（米）„剪去的长度。
（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程=速度和×时间。
同时相向而行：相遇时间=速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。
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同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。
例 甲在乙的后面 28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米，乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙？
分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米，这是速度差。
已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程），28 千米 里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷（16-9）=4（小时）
（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
船速：船在静水中航行的速度。
水速：水流动的速度。
顺水速度：船顺流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。
解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20（千米）2 0 × 2 =40（千米）40 ÷（4 × 2）=5（小时）28 × 5=140（千米）。
（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43（人）
一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42（人）三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45（人）。
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（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
解题规律：沿线段植树
棵树=段数+1
棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷（棵树-1）
总路程=株距×（棵树-1）
沿周长植树
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×（301-1）÷（201-1）=75（米）
（11）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足，总差额= 大不足-小不足
例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了（25-5）=20 支，2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（25-5）÷（12-10）=10（支）10 × 12+5=125（支）。
（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？
分析：父子的年龄差为 48-21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）
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（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数
例 鸡兔同笼共 50 个头，170 条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数（170-2 × 50）÷ 2 =35（只）
鸡的只数 50-35=15（只）
第三章 代数初步知识
一、用字母表示数 用字母表示数的意义和作用
* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
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（1）常见的数量关系
路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系：
s=vt
v=s/t t=s/v
总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系: a=bc b=a/c c=a/b
（2）运算定律和性质
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(bc)
乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 减法的性质：a-(b+c)=a-b-c
（3）用字母表示几何形体的公式
长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=2(a+b)s=ab
正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=4a s=a²
平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示。
s=ah
三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。
s=ah/2
梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用s表示。
s=(a+b)h/2 s=mh
圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=∏d=2∏r s=∏ r²
扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用s表示。
s=∏ nr²/360
长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。
v=sh
s=2(ab+ah+bh)v=abh
正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示，体积用v表示.s=6a²
v=a³
圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示，体积用v表示.s侧=ch
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s表=s侧+2s底
v=sh
圆锥的高用h表示，底面积用s表示，体积用v表示.v=sh/3 用字母表示数的写法
数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
4将数值代入式子求值
* 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。
* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。
二、简易方程
（一）方程和方程的解
1方程：含有未知数的等式叫做方程。
注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
三、解方程
解方程，求方程的解的过程叫做解方程。
四、列方程解应用题
列方程解应用题的意义
* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
列方程解答应用题的步骤
* 弄清题意，确定未知数并用x表示；
* 找出题中的数量之间的相等关系；
* 列方程，解方程；
* 检查或验算，写出答案。
3列方程解应用题的方法
* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。
* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
4列方程解应用题的范围
小学范围内常用方程解的应用题：
a一般应用题；
b和倍、差倍问题；
c几何形体的周长、面积、体积计算；
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d 分数、百分数应用题；
e 比和比例应用题。
五
比和比例
1比的意义和性质
（1）比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
（2）比的性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
（3）
求比值和化简比
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
（4）比例尺
图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
（5）按比例分配
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
比例的意义和性质
（1）比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
（2）比例的性质
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
（3）解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
正比例和反比例
（1）成正比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k(一定）
（2）成反比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积昆明奥数培训中心 http:// 专业奥数学习资源，完全免费，无须注册！
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一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
第四章 几何的初步知识
一 线和角
（1）线
* 直线
直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
* 射线
射线只有一个端点；长度无限。
* 线段
线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
*平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
* 垂线
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
（2）角
（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
（2）角的分类
锐角：小于90°的角叫做锐角。
直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。
周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
二平面图形
1长方形
（1）特征
对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。
（2）计算公式
c=2(a+b)s=ab 2正方形
（1）特征：
四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。（2）计算公式
c=4a s=a²
3三角形
（1）特征
由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。
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（2）计算公式
s=ah/2
（3）分类
按角分
锐角三角形 ：三个角都是锐角。
直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
钝角三角形：有一个角是钝角。
按边分
不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
4平行四边形
（1）
特征
两组对边分别平行的四边形。
相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。
（2）计算公式
s=ah 5 梯形
（1）特征
只有一组对边平行的四边形。
中位线等于上下底和的一半。
等腰梯形有一条对称轴。
（2）公式
s=(a+b)h/2=mh 6 圆
（1）圆的认识
平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。
（2）圆的画法
把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；
把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；
把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
（3）圆的周长
围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。
（4）圆的面积
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
（5）计算公式
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d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r
s=∏r²
7扇形
（1）
扇形的认识
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
圆上ab两点之间的部分叫做弧，读作“弧ab”。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
扇形有一条对称轴。
(2)计算公式
s=n∏r²/360 8环形
(1)特征
由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
(2)计算公式
s=∏(r²-r²）
9轴对称图形
(1)特征
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴。
等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。
等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。
菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。
三 立体图形
（一）长方体
特征
六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。计算公式
s=2(ab+ah+bh)v=sh v=abh
（二）正方体
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特征
六个面都是正方形
六个面的面积相等
12条棱，棱长都相等
有8个顶点
正方体可以看作特殊的长方体
计算公式
s表=6a²
v=a³
（三）圆柱
1圆柱的认识
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。2计算公式
s侧=ch
s表=s侧+s底×2 v=sh/3
（四）圆锥
圆锥的认识
圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。2计算公式
v= sh/3
（五）球
认识
球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有一个球心，用o表示。
从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。
通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。
计算公式
-第五章 简单的统计
一
统计表
（一）意义
* 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。
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（二）组成部分
* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
* 单式统计表：只含有一个项目的统计表。
* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
（四）制作步骤
1搜集数据
2整理数据：
要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。
3设计草表：
要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。正式制表：
把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。
二
统计图
（一）意义
* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
（二）分类
条形统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。
优点：很容易看出各种数量的多少。
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；
复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
制作条形统计图的一般步骤:
小学和初中数学公式表篇四
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小学升初中语文学习方法指导
首先得对小学学习和初中学习的不同有一个清醒的认识。在学习上，小学阶段和初中阶段有很大的不同，主要表现在：
1、学习科目的增多。
从小学的两三门课增加到初中十多门，仅初一年级就有12门课。学科的内容也更广、更深、更趋于专业化，2、教师教学方法的不同。
3、学生成长阶段的不同。
面对这些不同，首先要有一个清醒地认识，这样的不同是学生成长中的必然，是只能去适应的而无法改变的，时间不可能回到小学时期，接受初中的现实，适应并掌握这里的学习规律，才是唯一的正确之路。这就要求做好以下几点：
1、转变学习态度，认清学习目标。
那么要怎么转变呢？首先要变轻轻松松为勤奋努力。没有一个紧张有序，竞争拼搏的态度是很难在初中的学习生活中成为佼佼者的。我们把态度细化一下，可以问自己几个问题．
你上课认真听讲了吗?能坚持认真听讲到下课吗? 有课堂笔记吗?课堂笔记坚持写了吗?自己不太懂的问题在上面有反映吗? 预习复习练习认真的坚持了吗?是否还是伙伴们的一声呼唤就丢掉学习去玩个痛快呢? 你以什么样的态度对待学习,学习就会给你一个怎样的分数．结合自己的实际制定自己的目标，并在目标的指引下，坚持努力，不断进步．认清前进的目标才能激发前进的动力。
２、培养具有良好学习习惯的治学能力。
这种治学能力首先也是最基本的就是，养成预习复习练习的学习习惯。很多学生说我也在这样做了，正如所有人都在教室听课，但效果却不一样，差别的原因在于有没有专心认真的去做，并能够长期坚持。除了养成预习复习练习的学习习惯外，提高听课效率也是很重要的。
3、科学生活与学习的几个小建议。
(1)养成有规律作息的生活习惯。积极锻炼身体，保持身体健康。(2)重视每一门学科，重视每一节课，保证收获最大。(3)学习到了某个阶段而觉得疲劳时，这时就得马上休息一下，要是你不顾这些，继续用功，学习效率必然低落，因此遇到这种情形，干脆改换一下情结，方法很多，并不一定要休息，你可以散散步，呼吸新鲜空气，还可以找不同学科的书看，这是很好的一种方法。
(4)学习主要依赖的感觉通道有视觉、听觉和运动知觉。学习新内容时，参与学习的感官越多，学生越可能好掌握新知识。
(5)树立正确的人生观、世界观，培养科学、理性的思维模式。
总之，在学习上那种天真烂漫、无忧无虑的童年时代，在初中学习生活的现江西学思，江西中小学暑期辅导，江西家教，江西初中家教，江西小升初家教辅导,江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构!小班教学，名师名校，精心打造专业中小学辅导，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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实，尤其是初中升入高中竞争压力下，将要一去不复返了，迎接你们的是走向成熟的崭新的成长阶段。在这里的快乐将会更多的来源于知识殿堂里的攀登和科学海洋里的遨游。初中也是人生求学道路上第一次分化的开始，小学毕业后，大家都会进入不同的初中，而初中毕业后则不然。希望你们都能够在更高的学府里再相见。
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小学和初中数学公式表篇五
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学习之道在于悟，成功之道在于己
——中学生数学学习方法
中学生都很喜欢《功夫之王》和《功夫熊猫》这两部电影，两部电影都讲述了两个从喜爱功夫却毫无功底的剧中人物最终练成绝世功夫，成就大业的故事。
《功夫之王》中默僧在传授杰森功夫时，有一段精彩的对白：“画家以泼墨山水为功夫，屠夫以庖丁解牛为功夫，从有形中求无形，充耳不闻，习万家之变，才能自创一家，乐师以辗转悠扬为功夫，诗人以天马行空的文字倾国倾城，这也是功夫，但功夫只能意会，因为他就像水一样，水弱于万物，然而水滴石穿，它并不正面抗衡对手，而从对手身边流过，无形，无状。”
套用上述对白，我们也可以说，学生以解题为功夫，习万题之法，从又招到无招，习万题之变，才能自创一家，功夫只能意会，揭示了学习是一个自我领悟的过程。无独有偶，《功夫熊猫》中阿波在最后战胜太郎时，熊猫阿波抓住太郎的手指，太郎不可思议地说:“你怎么会吴氏断指法，师父不可能教你。”熊猫阿波说：“我会吴氏断指法，但师父没有教我。是我琢磨出来的。”
在这里琢磨就是悟字。我们从中可以理解为学习之道在于悟。悟的过程是一个自我思考、自我反思、自我总结的过程，如何在学习的过程上实现“悟”呢?
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其一，数学的学习本身就需要有悟的过程。有些知识需要老师详细的讲解才能达到真正的理解，但有些知识则是只能意会不可言传的，即单凭教师讲很难使学生达到理解的升华。这并不是说就完全削弱了教师的作用，而是说，学生真正去掌握知识，达到对某一数学知识的理解，并不是靠老师教出来的，而是靠学生悟出来的，将所学的知识嵌入已有的知识结构中才能达到真正的理解和掌握。
其二，数学的学习是学会独立思考的过程.数学学习过程要防止那种死记硬背，不求甚解的倾向，学习中要多问几个为什么，多沉下心来琢磨琢磨。一个问题可以从几个不同的方面去思考，做到举一反三，融会贯通。我们听课时要边听边思考，思考当堂的内容，思考与本课相关的知识体系，思考教师的思路，拿自己的思路与老师的思路比较。听课中也可以尝试在老师没有做出判断，结论之前，自己试判断、试下结论，看看自己想的与老师讲的是否一致。找出对与不对的原因，独立思考能力是学好数学的最中心环节。
其三，数学的学习过程是一个需要练习的过程。练习的过程是一个熟能生巧的过程，反复练习正是为了达到悟的结果及培养对数学的理解和感觉，训练的过程需要经历一个由量变到质变，一个无形、无状的过程，当然由于每个人知识结构，思维水平和理解能力等的不同，训练的过程和量是不同的，但无论如何训练都不能“为解题而解题”。
其四，数学的学习过程是把握数学的精神过程。数学的精神在于用数学的思想、方法、策略去思考问题。而一些学生对数学无论怎样江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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练习，也始终难以找到数学的感觉。这就需要我们在学习过中从问题解决中形成一般性的结论，领悟问题解决中数学思想、方法、策略的应用。
其五，数学的学习过程是善于总结的过程.学完一章，要做个小结；学完一本书，要做个总结。总结很重要，不同的知识模块总结的方法不尽相同。常做总结可以帮助比进一步理解所学的知识，形成较完整的知识框架。数学的学习中要紧紧围绕概念、公式、法则、定理、定律。思考它们是怎么形成与推导出来的？能应用到哪方面？他与哪些知识有联系？通过追根溯源、牢固掌握知识。通过一课、一节、一章的复习，把自己的想法，思路写成小结、列出图表、或者用提纲摘要的方法，把前面知识贯穿起来，形成一个完整的知识网络。
要特别提出的是，数学学习的过程将是一个无形无状的过程，是一个水滴石穿的过程，在于长期的积累。只有在学习过程中不断去悟，去反复琢磨，对每个问题都沉下心去想，才能达到太极中所说的“无招胜有招”得境界。
《功夫熊猫》中熊猫阿波得到了龙之神旨后，却发现是一片空白，百思不得其解。在逃难的路途中，父亲说，自家的秘密配方汤的秘密配方就是什么也都没有。父亲又说，要想做什么特别的东西，你只要相信它是特别的，熊猫阿波悟龙之神旨的真谛;没有密码配方，只有你自己。所以熊猫阿波在战胜太郎自信说出：我不是只寻常的肥熊猫，江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构— 江西学思教育，江西中小学暑期辅导专业权威机构，致力于为家长提供放心暑期家教！江西南昌进贤上饶市宜春高安新余萍乡鄱阳奉县丰城永修中小学暑期家教培训辅导班
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是一只无与伦比的肥熊猫。熊猫阿波的超级自信就是成就他的爆发的秘笈。
所以，成功之道在于己，数学的学习在于自信。自信能激发每一个人的无限潜能。那么学习的自信源自于哪儿呢？
其一、自信源于对数学的热情。华罗庚教授在《大哉数学之为用》中，精辟地阐述了他对数学的见解：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧。地球之变，生物之迷，日用之繁无处不有数学的伟大贡献。”我们需要理解数学是有用的明白数学是有趣的，我们需要热情，更需要持久的热诚。所谓持久，不是十天半个月或一年，应是贯穿整个求学的时代乃至一生，唯有由于持久的热忱所支持着的不断努力，才是能出成绩的惟一保证。
其二、源于自我的认可。对数学的学习要有一颗雄心，一颗相信自己能学好数学的雄心。熊猫阿波有着无限的潜能，但它最初的自卑制约了它的潜能。当它相信自己能行时，就迸发出不可想象的能量。所以，我们要相信“一切皆有可能”。
其三、自信源于坚实的数学基本功。我的一个学生在笔记本上记录了他对基本功的理解：“从今天开始我做的每一道题高考肯定不考。高考的每一道都会做，并不会保证都能做对要关注对，而不是会，解决问题的最好的方法是反复，不要因为这题简单而不去做，不要因为这题做过三遍而不去做，可为难题放弃，决不可为简单题放弃，这就是基本功。”数学的基本功是所有问题解决的基石。
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其四、自信源于锲而不舍。不论是何种成绩（或成就）都是需要多次乃至无数次失败来奠基的。数学上的失败不应该成为同学们前进的绊脚石，而应是同学们登天的青云梯。
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