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高数极限概念篇一
典型例题分析
客观题
例 1 设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则limf(x0ax)f(x0bx)xabx0()
f(x0)aabf(x0)
b(ab)f(x0)
c(ab)f(x0)
d
答案 c
解
f(x0ax)f(x0bx)limx0x[f(x0ax)f(x0)][f(x0bx)f(x0)]lim x0x
f(x0bx)f(x0)f(x0ax)f(x0)blim
alim
x0x0bxax
(ab)f(x0)
例2(89303)设f(x)在xa的某个邻域内有定义,则f(x)在xa处可导的一个充分条件是()1f(a2h)f(ah)(a)limhfaf(a)存在(b)lim存在h0hhh(c)limf(ah)f(ah)2hh0存在(d)limf(a)f(ah)h存在h0答案 d
解题思路
(1)对于答案(a),不妨设
1hx,当h时,x0,则有
1f(ax)f(a)limhfaf(a)lim存在,这只表明f(x)在xa处hx0hx右导数存在,它并不是可导的充分条件,故(a)不对.(2)对于答案(b)与(c),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a),因此与导数概念不相符和.例如,若取
1,xaf(x)
0,xa则(b)与(c)两个极限均存在,其值为零,但limf(x)0f(a)1,从而f(x)在xaxa处不连续,因而不可导,这就说明(b)与(c)成立并不能保证f(a)存在,从而(b)与(c)也不对.(3)记xh,则x0与h0是等价的,于是 limf(a)f(ah)hh0limf(ah)f(a)hh0limf(ah)f(a)h
h0x所以条件d是f(a)存在的一个充分必要条件.例3(00103)设f(0)0,则f(x)在点x0可导的充要条件为()x0limf(ax)f(a)f(a)(a)lim1h1h2h0f(1cosh)存在(b)lim1h1hh0f(1e)存在
h(c)limh02f(hsinh)存在(d)limh0f(2h)f(h)存在
答案 b
解题思路
(1)当h0时, 1coshhh02limf(1cosh)h2h0lim2f(1cosh)f(0)h21.所以如果f(0)存在,则必有
limf(1cosh)f(0)1coshh0lim1coshh2h0若记u1cosh,当h0时,u0,所以
f(1cosh)f(0)f(u)f(0)limlimf(0)h0h01coshu于是
limf(1cosh)h2h012f(0)
1h2这就是说由f(0)存在能推出limh0f(1cosh)存在.h0,而不是u0,因此 但是由于当h0时,恒有u1cos1f(x)f(0)f(0)limlim2f(1cosh)存在只能推出存在,而不能推出f(0)h0hx0x存在.
(2)当h0时, 1eho(h),于是
hlimf(1e)hhh0limf(ho(h))f(0)hh0limf(ho(h))f(0)ho(h)
h0 由于当h0时, ho(h)既能取正值,又能取负值,所以极限limf(ho(h))f(0)ho(h)h0存在与limf(h)f(0)hh0f(0)存在是互相等价的.因而
极限lim1hh0hf(1e)存在与f(0)存在互相等价.(3)当h0时, 用洛比塔法则可以证明limlimf(hsinh)h2h0,所以 6hf(hsinh)f(0)hsinhlimlimh 3h0h0hsinhhh03hsinh1由于h0,于是由极限limf(hsinh)f(0)hsinhh0limhsinhh3h0h存在未必推出hsinh(4)f(x)在点x0可导一定有(d)存在,但(d)存在不一定f(x)在点x0可导.h0limf(hsinh)f(0)也存在,因而f(0)未必存在.例 4(98203)函数f(x)(xx2)|xx|有()个不可导点
(a)0(b)1(c)2(d)3
答案 c
解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x00,x11,x21考察导数的存在性.解 将f(x)写成分段函数:
23(x22(xf(x)2(x(x2x2)x(1x),x2)x(x1),x2)x(1x),x2)x(x1),2222x1,1x0,0x1,1x.(1)在x00附近,f(x)写成分段函数:
22x(xx2)(x1),x023 f(x)(xx2)|xx|22x(xx2)(1x),x0容易得到
f(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(x1)2
x0x0xf(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(1x)2
x0x0x由于f(0)f(0),所以f(0)不存在.(2)在x11附近,f(x)写成分段函数:
2x(1x)(xx2)(1x),x123f(x)(xx2)|xx|
2x(1x)(xx2)(x1),x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4
x1x1x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4
x1x1x1由于f(1)f(1),所以f(1)不存在.(3)在x21附近,f(x)写成分段函数:
2x(1x)(xx2)(x1),x123f(x)(xx2)|xx|
2x(1x)(xx2)(x1),x1f(1)limf(x)f(1)x1x0x1由于f(1)f(1)0,所以f(1)存在.x1f(1)limx1f(x)f(1)limx1x(x1)(x22x2)0
limx(x1)(xx2)0
综合上述分析,f(x)有两个不可导的点.例5(95103)设f(x)具有一阶连续导数,f(x)f(x)(1|sinx|),则f(0)0是f(x)在x0处可导的()
(a)必要但非充分条件
(b)充分但非必要条件
(c)充分且必要条件
(d)既非充分也非必要条件
答案 c
分析 从f(x)在x0的导数定义着手.将f(x)f(x)(1|sinx|)f(x)f(x)|sinx| 解
f(x)f(0)f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|limlimf(0)lim
x0x0x0x0x0x0
f(0)f(0)
f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|f(x)f(0)limlimf(0)lim
x0x0x0x0x0x0f(0)f(0)
于是推知f(0)f(0)的充分必要条件是f(0)0. 例6(92103)设函数f(x)3xx|x|,则使f32(n)(0)存在的最高阶数n().(a)0
(b)1(c)
2(d)3
答案 c
解题思路 应先去掉f(x)中的绝对值,将f(x)改写为分段函数
2x3 f(x)3xx|x|34x32x0x0x0x0
2x3 解 由f(x)3xx|x|34x32
6x2得f(x)212xx0x0
12x且f(x)24x又f(0)limx012 f(x)x024x0x0x0
f(x)f(0)x0limx02x03x00,f(0)limf(x)f(0)x0x0limx04x03x020
所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx06x0x012x0 00 f(0)limf(x)f(0)x02limx0x0x0所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx012x0x012
x0即f(0)f(0).因而使fx0f(0)limf(x)f(0)24
x0(n)(0)存在的最高阶数是2.x0lim24x0
例7 f(x)cos|x|x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于()
a
0
b 1
c 2
d 3 答案 c 解题思路 注意cos|x|cosx,所以只需考察x|x|在点x0的情况.例8(96203)设0,f(x)在区间(,)内有定义,若当x(,)时,恒有f(x)x,则x0必是f(x)的()
(a)间断点,(b)连续而不可导的点,(c)可导的点,且2f'(0)0
(d)可导的点,且f'(0)0
答案
c
解 由题目条件易知f(0)0,因为
|所以由夹逼定理
f(x)f(0)x||f(x)xf(x)x||x2x|
2lim|x0f(x)f(0)x|lim|x0|lim|x0xx|0
于是f(0)0.1ex,x0, 则f(0)为()
例9(87103)设f(x)x0,x0.
1(a)0
(b)
(c)1
(d)1
2答案
(c)
解题思路
因f(x)为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义,又由于是未定式,可用洛必达法则求极限.200型解
1e f(0)limx2f(x)f(0)x0ulimx0x0xx00lim1exx2x02x
2当u0时,e 1与u是等价无穷小,所以当x0时,1e与x是等价无穷小.因而
2lim1exx2x021
12,则x0时,f(x)在x0处的微分dy与
例10(88103)设f(x)可导且f(x0)x比较是()的无穷小.(a)等价(b)同阶(c)低阶(d)高阶
答案 b
解题思路
根据yf(x)在xx0处的微分的定义:dyf(x0)x.x12 解 limlim,可知dy与x是同阶的无穷小.x0xx0x21xsin,x0
例11(87304)函数f(x)在x0处()xx00,dy
(a)连续,且可导
(b)连续,不可导
(c)不连续
(d)不仅可导,导数也连续
答案 b
解题思路
一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步:(1)讨论连续性;(2)讨论可导性.解(1)讨论函数在点x0处的连续性
10f(0),可知函数f(x)在点x0处是连续的.由于limf(x)limxsinx0x0x
(2)讨论函数在点x0处的可导性
1xsin0f(x)f(0)1xlimlimsin
由于lim不存在,所以,函数f(x)在点
x0x0x0x0xxx0处不可导.x
例12 设f(x)p必须满足()p1sin01x,x0,x0 在点x0可导,但是f(x)导数在点x0不连续,则
a0p1
b1p2
c0p2
d1p答案 b
解题思路
(1)当p1时,下述极限不存在: x因此f(0)不存在.当p1时, x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin1
x0xxx所以f(0)0.x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin10
x0xx这就是说,只有当p1时, f(0)才存在,所以选项a,c可以被排除.(2)当p1时
0,x0 f(x)11p1p2sinxcos,x0pxxx当且仅当p20,即p2时,limf(x)0f(0),所以当且仅当1p2时,x0f(x)在点x0可导,但是f(x)在点x0不连续.例13(95403)设f(x)可导,且满足条件limf(1)f(1x)2x12x01,则曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线斜率为()(a)2,(b)2,(c),(d)1
答案 b
解 记ux,则有
f(1)f(1x)1f(1u)f(1)1limlimf(1)x02x2u0u2
例1
4设yln(12x),则y
(a)(10)()
9!(12x)10
(b)9!(12x)10
(c)10!2910(12x)
(d)9!21010(12x)
答案 d
解题思路
求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.2y, 12x21y(2)(1)(2)(1)(2)
22(12x)(12x)y(2)(1)(2)(2)2(12x)3
y(10)9!21010(12x).例17
(90103)设函数f(x)有任意阶导数,且f(x)f(x),则f(n)(x)(n1),(n2).n1(a)n!f(x)(b)nf(x)(c)f2n(x)(d)n!f2n(x)
答案 a
解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.解
由f(x)有任意阶导数且f(x)f(x),可知
2f(x)f(x)32f(x)f(x)2f(x)ff(x)2f(x)32f(x)f(x)3!f2(n)n12(x)2f(x),(x)
34依此由归纳法可知 f(x)n!f(x)
注意(1)当n1,n2时虽然(b)也正确,但当n2就不正确了,所以将(b)排除之;
222(2)在求导数f(x)时,可将函数f(x)看成是由yt与tf(x)复合而成的,(t)f(x)2tf(x)2f(x)f(x).(初学者可能会这样做:f(x)2f(x),后面丢掉一个因子f(x).则根据复合函数的求导法则,故f(x)222
例18(91303)若曲线yxaxb和2y1xy在点(1,1)处相切,其中
23a,b是常数,则()(a)a0,b
2(b)a1,b3
(c)a3,b
1(d)a1,b1
答案 d
解题思路
两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.解
曲线yxaxb在点(1,1)处的斜率是
2k1(xaxb)2x1(2xa)x132a
另一条曲线是由隐函数2y1xy确定,该曲线在点(1,1)处的斜率可以由隐函数求导数得到: 对于方程2y1xy两边求导得到2y3xyyy,解出y得到此曲线在点(1,1)处的斜率为
k2yx1y1323y3223xy1
x1y12令k1k2,立即得到a1.再将a1,x1,y1代入yxaxb中得出b1.例19设f(x),g(x)定义在(1,1),且都在x0处连续,若g(x)x0f(x)x,则()x02(a)limg(x)0且g'(0)0,(b)limg(x)0且g'(0)1
x0x0(c)limg(x)1且g'(0)0
(d)limg(x)0且g'(0)2
x0x0 答案 d
解题思路 分析函数f(x)的表达式,并运用f(x)在x0处连续这一关键条件.解 既然f(x)在x0处连续,于是必有limf(x)limx0g(x)xx02,于是必有limg(x)0.于是又有g(0)limx0g(x)g(0)xx0limg(x)xx02.1cosx 例 20(99103)设f(x)x2xg(x)x0x0 其中g(x)是有界函数,则f(x)在x0处()(a)极限不存在(b)极限存在,但不连续
(c)连续,但不可导(d)可导
答案 d
解题思路
若能首先判定f(x)在x0处可导,则(a)、(b)、(c)均可被排除.解
x f(0)lim21f(x)f(0)x0x0x2limx01cosx3limx023limx0x2x)
2x220
(x0时1cosx~ f(0)lim2f(x)f(0)x0xx0由于f(x)在x0点的左导数等于右导数,因而 f(x)在x0处可导.x0x0limxg(x)2limxg(x)0(g(x)是有界函数)
例21 设f(x)sinx,则(f(f(x)))()(sinx)cosx (sinx)cosx (cosx)sinx (cosx)sinx
答案 a
例 22 设f(x)是可导函数,则()a.若f(x)为奇函数,则f(x)为偶函数b.若f(x)为单调函数c.若f(x)为奇函数,则f(x)为奇函数d.若f(x)为非负函数 答案 a
解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性.解 由于f(u)f(u),所以 ,则f(x)为单调函数 ,则f(x)为非负函数
f(x)limlimf(xx)f(x)xf[x(x)]f(x)x0limf(xx)f(x)x
x0x因此f(x)为偶函数.x0f(x)例23 设yesinsin22x,则dy()sin2 c.2e 答案 d
解题思路 运用复合函数微分法
例 24 设f(0)存在,lim(1x0xxsin2xsincosx d.e2xsin2x
1cosf(x)sinx1)xe,则f(0)()a.0 b.1 c.答案 c
解 由 c.e
lim(1x01cosf(x)sinx1)xe
可以知道当x0时,有
lim(参阅第一章1.5的例2)
x011cosf(x)1 xsinxf2当x0时,sinx与x是等价无穷小,1cosf(x)与
(x)2是等价无穷小.于是
f(x)11cosf(x)1limlim1 2x0xx0sinx2x又因为f(0)存在,所以此式又推出 f(0)limf(x)xx022.1,x0arctan 例 25 设f(x) 在点x0可导,则()xaxb,x0a.a1,b2 b.a1,b0 c.a1,b2 d.a1,b2
答案d
解题思路 先考察函数在点x0左右极限,确定连续性,再考察左右导数.由可微性最终确定a,b.解
1,所以b.(1)limf(x)lim(axb)b,limf(x)limarctanx0x0x22x0x0于是f(0)2.(2)f(0)a,f(0)limx0f(x)f(0)arctanlimx01xx2
xarctan1xx2: 以下需要用洛比塔法则求极限limx0
arctanlimx01x2lim(arctan1xx2)limx01x2xx0于是由f(0)f(0)推出a1
11
例26.(93303)若f(x)f(x),且在(0,)内f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内必有
(a)f(x)0,f(x)0(b)f(x)0,f(x)0
(c)f(x)0,f(x)0(d)f(x)0,f(x)0 答案 c
解体思路 所给函数显然是奇函数,因此f(x)是偶函数,f(x)是奇函数.解 由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0);由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0).
高数极限概念篇二
第二章 极限和连续 【字体:大 中 小】【打印】
2.1 数列极限
一、概念的引入(割圆术)
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
正六边形的面积a正十二边形的面积a2
n-1
正6×2形的面积an
a1,a2,a3,„,an,„→„s
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3„编号依次排列的一列数x1,x2,„,xn,„(1)
称为无穷数列,简称数列。其中的每个数称为数列的项,xn称为通项(一般项)。数列(1)记为{ xn }。
例如
nn
2,4,8,„,2,„;{ 2}
注意:
(1)数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取
(2)数列是整标函数xn=f(n)
三、数列的极限
1.定义 设{xn}是一数列,如果存在常数a,当n无限增大时,xn无限接近于常数a,则称数列{ xn }收敛,a是数列{ xn }的极限,或者称数列xn收敛于a,记为。
如果数列没有极限,就说数列是发散的。
例如
nn
2,4,8,„,2,„;{ 2},发散,发散
收敛于0
2.数列极限的性质(1)唯一性
定理 每个收敛的数列只有一个极限。(2)有界性
定义: 对数列xn,若存在正数m,使得一切自然数n, 恒有|xn|≤m成立, 则称数列xn有界,否则,称为无界。
例如,数列有界,数列无界
数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-m,m]上。
定理 收敛的数列必定有界。
注意:有界性是数列收敛的必要条件。推论 无界数列必定发散。(3)保号性
收敛数列的保号性:假设数列{αn}收敛,其极限为α,1)若有正整数n,n>n时,αn>0(或<0),则α≥0(或α≤0)2)若α>0(或<0,则有正整数n,使得当n>n时,αn>0(或<0)
2.2 级数
1.级数的定义:
称为数项无穷级数(或简称数项级数),un为一般项。
2.级数的部分和
3.部分和数列
4.级数的收敛与发散
当n无限增大时,如果级数的部分和数列sn有极限s,即则称无穷级数收敛,这时极限s叫做级数的和,并写成。
如果sn没有极限,则称无穷级数
数项级数收敛
存在
发散。
例1.讨论等比级数(几何级数)
(a≠0)的收敛性。
【答疑编号11020101:针对该题提问】
解:如果q≠1时,当|q|<1时,当|q|>1时
如果|q|=1时
当|q|=1时,级数发散
收敛 发散
当q=-1时,级数变为α-α+α-α+„
不存在,级数发散
综上
例2.(56页1(3))判断下列级数的敛散性,并在收敛时求出其和:
【答疑编号11020102:针对该题提问】
解:
由
得级数收敛,其和为。
例3.判断级数的敛散性
【答疑编号11020103:针对该题提问】
例4.判断级数的敛散性,并在收敛时求出其和
【答疑编号11020104:针对该题提问】
例5.判别无穷级数
的收敛性。
【答疑编号11020105:针对该题提问】
解
∴级数收敛,和为。
2.3 函数极限
两种情形:
(1)x→∞情形:
(2)x→x0情形:
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义:设m是任意一个正数,函数f(x)在上有定义,如果存在常数a,当|x|无限增大(即|x|→∞)时,f(x)无限接近于a,则称a为函数f(x)当x→∞时的极限,或简称为f(x)在无穷大处的极限,记为
或f(x)→a,当x→∞时。
定理:
例1.(60页例
5、例6)求下列函数的极限
(1)
【答疑编号11020201:针对该题提问】
(2)
【答疑编号11020202:针对该题提问】
解:对于函数
对于函数f(x)=arctanx,由反正切曲线y=arctanx的图形,易见
所以,极限
例2.不存在。
【答疑编号11020203:针对该题提问】
例3.【答疑编号11020204:针对该题提问】
例4.【答疑编号11020205:针对该题提问】
二、函数在有限点处的极限(自变量趋于有限值时函数的极限)
1.定义:给定函数y=f(x)在(x∈d)上有定义,假设点x0的某一去心邻域,如果存在常数a,使得当x→x0时,函数值f(x)无限接近于a,则称a为函数f(x)当x→x0时的极限,记为
或 f(x)→a,当x→x0时。
2.单侧极限
定义:设 f(x)在x0的一个左邻域中有定义,如果存在常数a,使得当相应的函数值(fx)无限接近于a,则称a为函数f(x)当 时的左极限,记为
定理:
时,或(fx0-0)。
例5.62页2:(5)(6)(7)
求函数在指定点的左右极限,判定该点极限是否存在。
(5)x=2
【答疑编号11020206:针对该题提问】
(6)x=0
【答疑编号11020207:针对该题提问】
(7),x=0
【答疑编号11020208:针对该题提问】
问题:函数y=f(x)在x→x0的过程中,对应函数值f(x)无限趋近于确定值a。
例6.求
【答疑编号11020209:针对该题提问】
注意:函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关
三、函数极限的性质 1.唯一性
定理 若limf(x)存在,则极限唯一。2.有界性
定理(有极限函数的局部有界性)假设中有界,即有常数m>0,使得在x0的某个去心邻域
3.保号性
若
推论
存在,则f(x)在x0点的某个邻域
中,有,且a>0(或a<0)
若时
f(x)≥0(或f(x)≤0),则a≥0(或a≤0)
四、小结
函数极限的统一定义
2.4 极限的运算法则
一、极限运算法则
定理
设
(1)
(2)
,则
(3)
例7.【答疑编号11020210:针对该题提问】
推论1
如果lim f(x)存在,而c为常数,则
常数因子可以提到极限记号外面。
推论2
如果lim f(x)存在,而n是正整数,则
二、求极限方法举例
例8.求
【答疑编号11020211:针对该题提问】
解
(直接代入法)
例9.求。
【答疑编号11020212:针对该题提问】
解:x→1时,分子,分母的极限都是零。(型)
(消去零因子法或因式分解法)
例10.求
【答疑编号11020213:针对该题提问】
解:先变形再求极限。
例11.求
【答疑编号11020214:针对该题提问】
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.因式分解法消去零因子求极限; c.通分法
d.利用左右极限求分段函数极限。
2.5 无穷小和无穷大
一、无穷小
1.定义:极限为零的变量称为无穷小。
函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小,记作
例如,∴函数sinx是当x→0时的无穷小。
,∴函数是当x→∞时的无穷小。
,∴数列是当n→∞时的无穷小。
注意:
(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆;(2)零是可以作为无穷小的唯一的数。2.无穷小与函数极限的关系:
其中α(x)是当x→x0时的无穷小。
定理
3.无穷小的运算性质:
(1)在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小。(2)有限个无穷小的乘积也是无穷小。(3)有界变量与无穷小的乘积是无穷小。
例如,当x→0时,二、无穷大
1.定义:绝对值无限增大的变量称为无穷大。
函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大,记作。
2.特殊情形:正无穷大,负无穷大。
注意:
(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;(2)切勿将 认为极限存在。
(3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大。
例如,三、无穷小与无穷大的关系
是无界变量不是无穷大。
1.定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。
2.意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论。
例1.求。
【答疑编号11020301:针对该题提问】
解:
又
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
例2.求。
【答疑编号11020302:针对该题提问】
解:x→∞时,分子,分母的极限都是无穷大。(先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限。
型)
(无穷小因子分出法)
例3.求
【答疑编号11020303:针对该题提问】
例4.求
【答疑编号11020304:针对该题提问】
小结:当,m和n为非负整数时有
无穷小分出法:以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限。
例5.【答疑编号11020305:针对该题提问】
例6.求
【答疑编号11020306:针对该题提问】
例7.求
【答疑编号11020307:针对该题提问】
例8(2007年10月)
【答疑编号11020308:针对该题提问】
例9(2007年10月)、下面a、b、c、d四个极限中,哪一个极限存在()
a.b.c.d.【答疑编号11020309:针对该题提问】
答案:d
例10(2007年4月)
()
a.0
b.1 c.-1
d.不存在
【答疑编号11020310:针对该题提问】 答案:b
例11(2007年7月)
【答疑编号11020311:针对该题提问】
计算
例12(2005年)计算
【答疑编号11020312:针对该题提问】
2.6 两个重要极限
2.6.1 关于
例
1、计算
【答疑编号11020401:针对该题提问】
解:
例
2、【答疑编号11020402:针对该题提问】
解:
例3、80页第1题(5)
【答疑编号11020403:针对该题提问】
解:
例
4、【答疑编号11020404:针对该题提问】
解:
例
5、【答疑编号11020405:针对该题提问】
解:
例
6、判断四个极限分别属于哪一种类型:
(1)
【答疑编号11020406:针对该题提问】
(2)
【答疑编号11020407:针对该题提问】
(3)
【答疑编号11020408:针对该题提问】
(4)
【答疑编号11020409:针对该题提问】
解:
解:
例
7、求
【答疑编号11020410:针对该题提问】
解
2.6.2 关于
例
1、求
【答疑编号11020501:针对该题提问】
解:
例
2、【答疑编号11020502:针对该题提问】
解:
例
3、【答疑编号11020503:针对该题提问】
解:
例
4、【答疑编号11020504:针对该题提问】
解:
方法一:
方法二:
例
5、【答疑编号11020505:针对该题提问】
解:
例
6、【答疑编号11020506:针对该题提问】
解:
例
7、【答疑编号11020507:针对该题提问】
解:
例
8、【答疑编号11020508:针对该题提问】 解: 方法一:
方法二:
例9、81页4题(8)
【答疑编号11020509:针对该题提问】
解:
小结:
第一类重要极限:
第二类重要极限:
2.5.4 无穷小的比较
例如,当x→0时,观察各极限
都是无穷小。
,x比3x要快得多; 2,sinx与x大致相同;
不存在,不可比。
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同。
定义:
设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α≠0.(1)如果,就说β是比α高阶的无穷小,记作β=o(α);
(2)如果,就说β与α是同阶的无穷小;
特殊地如果
等价无穷小:,则称β与α是等价的无穷小;记作α~β;
例:
【答疑编号11020601:针对该题提问】
例:
【答疑编号11020602:针对该题提问】
得:当x→0时,例:
(1)73页8题:
当x→∝时,a,b,c应满足什么条件可使下式成立?
(1)
(2)
等价无穷小代换
等价代换原理:在同一极限过程中的三个变量u,v,w,如果u,v是无穷小量,且等价,则有
,由
得:当x→0时,常用等价无穷小:
当x→0时,牢记常用的等价无穷小:
当x→0时,例:
【答疑编号11020603:针对该题提问】
例:
【答疑编号11020604:针对该题提问】
例
求
【答疑编号11020605:针对该题提问】
错解
当x→0时,解
当x→0时,例
(1)80页1题(7)
【答疑编号11020606:针对该题提问】
(2)80页1题(9)
【答疑编号11020607:针对该题提问】
(3)80页1题(10)
【答疑编号11020608:针对该题提问】
(4)80页2题:设
【答疑编号11020609:针对该题提问】,求a,b
例:94页3题(4):
【答疑编号11020610:针对该题提问】
例:94页4题(1):证明当时,sin(2cosx)与是同阶无穷小。
【答疑编号11020611:针对该题提问】
例:81页8题:设
【答疑编号11020612:针对该题提问】,求k。
小结
1.两个重要极限
2.无穷小的比较: 反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.高(低)阶无穷小;等价无穷小; 3.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法,注意适用条件.2.7 函数的连续性和连续函数
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数f(x)在
内有定义,称为自变量在点的增量。
2.连续的定义
定义1 设函数f(x)在的函数的增量f(x)在点
定义2 设函数f(x)在也趋向于零,即连续,称为
内有定义,如果当自变量的增量
或的连续点.趋向于零时,对应,那么就称函数
内有定义,如果函数
当
时的极限存在,且
高数极限概念篇三
求函
摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。
关键词:函数极限
引言
在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
主要内容
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: limx3x2x22x21
证: 由 x23x2x21x24x4x2
x22x2x2
0 取 则当0x2 时,就有
x23x2x21
由函数极限定义有: 2limx3x2x2x21
2、利用极限的四则运算性质
若 limf(x)a limg(x)b
xx0xx0(i)limf(x)g(x) limf(x)xxlimg(x)ab
0xx0xx0(ii)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)ab
xx0xx0xx0(iii)若 b≠0 则:
limlimf(x)xf(x)0axxg(x)x0limxxg(x)b
0iv)limcf(x)climf(x)ca(c为常数)
xx0xx0上述性质对于x,x,x时也同样成立
(
例:求 limx3x5x422 2x2解: limx3x523255x2x4=
242
3、约去零因式(此法适用于xx0时,00型例: 求32limxx16x20x37x216x12
x2解:原式=limx33x210x(2x26x20)x2x35x26x(2x210x12)
lim(x2)(x23x10)(x2)(x x225x6)=(x2lim3x10)5)(x2)x2(x25x6)=
xlim(x2(x2)(x3)=x5x37
xlim
24、通分法(适用于型)例: 求 lim(41x24x22x)
解: 原式=lim4(2x)(2x)(2x)
x2=lim(2x)(2x)(2x)
x23
=
=lim12xx214
5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)
设函数f(x)、g(x)满足:(i)limf(x)0
xx0(ii)g(x)m(m为正整数)则:limg(x)f(x)0
xx0例: 求 limxsin1x
x0 解: 由 lim0 而 sin1x1
x0x故 原式 =limxsin1x0x0
6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
(i)若:limf(x) 则 lim1f(x)0
(ii)若: limf(x)0
且
f(x)≠0 lim1f(x)
例: 求下列极限 ① lim1lim1xx5 ②x1x1
则4
解: 由 lim(x5) 故 limx1x5x0
由 lim(x1)0
故
x1lim1x1x1=
7、等价无穷小代换法
设,',,' 都是同一极限过程中的无穷小量,且有:
'' 则 lim~,~,lim'' 存在,= lim'' 也存在,且有lim1cosxxsinx222
例:求极限lim 解: sinx22x0
2~x, 1cosx~(x)222
(x) lim221cosxxsinx222x0=
12222xx
注: 在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
(a)limsinx1(b)lim(11x0xx)xex
但我们经常使用的是它们的变形:
(a')limsin(x)(x)1,((x)0)
(b')lim(11x))(x)(e,((x))例:求下列函数极限
x(1)、lima1(2)、limlncosaxx0xlncosbx
x0x1u,则 xln(1u)ax 解:(1)令a1alna 于是xulnln(1u)又当x0时,u0x故有:lima1lnax0xlimulnau0ln(1u)limlnau0ln(1u)limu01lnauln(1u)u(2)、原式limln[(1(cosax1)]ln[1(cosbx1)]
x0limln[(1(cosax1)]cosbxx0cosax11cosax1 ln[1(cosbx1)]cosbx1limcosbx1x0cosax1
2sin2sinlimx02a2x)2x(bx)222b2xlimxx0(a222sin2sin(b222ba2ax(x)222b
x)
9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。
(i)若f(x)在xx0处连续,则(ii)若f[(x)]是复合函数,又f(u)在ua处连续,则xx0xx0limf(x)f(x0)xx0lim(x)a且xx0
limf((x))f[lim(x)]f(a)例:求下列函数的极限
(1)、limecosx51xln(1x)2xx0
(2)
f(x)ecosx5xln1(x)limx0x
解:由于x0属于初等函数故由函数的连续性定义limecosx51xln(1x)ln(1x)x12x1xln(1x)2的定义域之内。有:f(0)61x0
(2)、由ln(1x)x令x(1x)x故有:limln(1x)x11x0limln(1x)xln(lim(1x)x)lne1x0x010、变量替换法(适用于分子、分母的根指数不相同 的极限类型)特别地有:
llimxkn1x1mlnk m、n、k、l 为正整数。
xm1例:求下列函数极限 ① lim11nmxxx1(m、n n)②lim(2x3)
x1x2x1 解: ①令 t=原式=limt1mnx 则当x1 时 t1,于是
mn1t1tlim(1t)(1ttt(1t)(1ttt22x12)x12m1n1))t12mn
②由于lim(2x3)=lim(1x1x2x1x
令:2x11 则 x111
2ttlim(x2x32x1)x1=lim(1x22x11t)x1=lim(1t)t0111t2
=lim(1t)t0lim(1t)2e1e
t0
11、利用函数极限的存在性定理
定理: 设在x的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤0h(x)且有: limxx0g(x)limh(x)a
xx0 则极限 lim
xx0f(x)
存在, 且有
xx0limf(x)a
xanx例: 求 limx(a>1,n>0)解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1 于是当 n>0 时有:
xanx(k1)akakn
kank及
xanxnk11a
又 当x时,k 有 lim(k1)akaknklim(k1)akankk1nka0a0
及 lim nkk1 lim=0 k1a01a0
xlimxanx
12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形)。定理:函数极限lim左极限lim xx0xx0f(x)存在且等于a的充分必要条件是
a。即有: f(x)及右极限limf(x)都存在且都等于
xx0
limf(x)alimx)=a xxxxf(x)=limf(00xx012ex,x0例:设f(x)=xx,0x1 求limf(x)及limf(x)xx0x1x2,x1解:limxf(x)lim(12e)1x0x0limx)limxx)limx1)1x0f(x0(xx0(由limx)limx)1x0f(x0f(limf(x)1
x0又limxxf(x)limlim(x1)0x1x1xx1 lim(x)lim21x1fxx1
由f(10)f(10)lim1f(x)不存在x13、罗比塔法则(适用于未定式极限)定理:若
(i)limxxf(x)0,limg(x)00xx0(ii)f与g在xu0(x'0的某空心邻域0)内可导,且g(x)0(iii)limf'(x)xxg'(x)a(a可为实数,也可为或),则
0limf(x)limf'(x)xx0g(x)xxg'(x)a0此定理是对00型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则。
注:运用罗比塔法则求极限应注意以下几点:
1、要注意条件,也就是说,在没有化为0,时不可
0求导。
2、应用罗比塔法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。
3、要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用罗比塔法则,否则会引起错误。
4、当limf(x)g(x)''xa 不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法。
例: 求下列函数的极限 ①lime(12x)ln(1x)2x12x0 ②lime(12x)12x12lnxxax(a0,x0)
解:①令f(x)=
f(x)e(12x)'x, g(x)= ln(1x)
2, g“'(x)2x1x2
2f(x)e(12x)”x32,g(x)2(1x)(1x)'22
由于但f “f(0)f(0)0,g(0)g(0)0”'
(0)2,g(0)2
从而运用罗比塔法则两次后得到
lime(12x)ln(1x)2x12x0lime(12x)2x1x2x12x0lime(12x)2(1x)(1x)222x32x0221
② 由lim法则有: xlnx,limxxa 故此例属于型,由罗比塔1xlimlnxxalimxaxa1xlim1axax0(a0,x0)
14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便,下列为常用的展开式:
1、ex1xx22!x3xnn!o(x)
n2、sinxx3!x2x55!x4(1)n1x2n1(2n1)!no(x2n)
3、cosx12!4!2(1)x2n(2n)!o(x2n1)
4、ln(1x)x
5、(1x)
6、11xx2(1)n1xnno(x)n
n!xo(x)nn1x2(1)2!xnn2(1)(n1)
1xxxo(x)n
上述展开式中的符号o(x)都有:
nlimo(x)x0xn0
例:求lima2xaxx(a0)
x0解:利用泰勒公式,当x0 有
1x1x2o(x)
于是 lima2xax0x
x=a(12xlima1xa)0x
xa1(2x)o(x)11x=1lim2a2ao(x)0x
x(x)=ax(x)1lim2aoxlim2axox0x1
x02a
15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件:(i)f 在闭区间上连续(ii)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点,使得f'()f(b)f(a)ba
此式变形可为: f(b)f(a)baf(a(ba))(01)'
例: 求 limxeexsinxx0xsinx
解:令f(x)e 对它应用中值定理得
eexsinxf(x)f(sinx)(xsinx)f(sinx(xsinx))(01)''即: eexsinxxsinx'f(sinx(xsinx))(01)
f(x)e'x连续
'limf(sinx(xsinx))f(0)1
x0从而有: limeexsinxx0xsinx1
16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况,即若: r(x)p(x)q(x)a0xmna1xm1n1ambnb0xb1x(a00,b00)
(i)当x时,有
mnm1n1limp(x)q(x)xlima0xa1xambnxb0xb1xa0 mnb00 mn mn
(ii)当x0 时有:
①若q(x②若q(x③若q(x0)0 则 lim0p(x)q(x)x0p(x0)q(x0)
p(x)q(x))0 而 p(x0)0 则lim0
x0)0,p(x0)0,则分别考虑若x0)p1(x)s为p(x)0的s重根,即:p(x)(xx0 也为q(x)0的r重根,即: q(x)(xx0)q1(x)r 可得结论如下:
0 , srsr(xx0)p1(x)p1(x0)p(x)limlim , sr xx0q(x)xx0q1(x)q1(x0) ,sr例:求下列函数的极限
①lim(2x3)20(3x2)5030x(2x1)②limx3x2x4x343x1
解: ①分子,分母的最高次方相同,故
lim(2x3)20(3x2)5030x(2x1)3=
220350302330()2
②p(x)x43x2,p(1)0
q(x)x4x3,q(1)0
p(x),q(x)必含有(x-1)之因子,即有1的重根 故有: limx3x2x4x343x1lim(x1)(x2)(x1)(x2x3)222x1limx2x2x32x112
(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式,但求极限方法完全类同,这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。
例:求lim解: limxx(xxxxx)
(xxxxx)
limxxxxxxxx1x1x3xxlim
xxxx1limx11211x
二、多种方法的综合运用
上述介绍了求解极限的基本方法,然而,每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧,使得计算大为简化。例:求 lim1cosxxsinx222x0
[解法一]: lim1cosxxsinx222x0
lim2xsinx2222x02xxcosx2xsinxsinx2
limsinx2222x0xcosxsinx
limx22x0cosxsinxx22=1
2注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。
[解法二]: lim1cosxxsinx222x0=lim2sin2x2x02lim22x0xsinxsinxx2221sinxx22sin2x22122x2
2注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要
极限法。
[解法三]: lim1cosxxsinx222x0lim1cosxxx222x0lim2xsinx4x32x02xsinxlim2x04xx212
注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换
法以及罗比塔法则
[解法四]:
(x)lim1cosxxsinx222x022lim1cosxx42x0x22sinxlimx024xx22sinx12
注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。
[解法五]: 1cosxxsinx2222sinlimx02x2limx02lim2lim242222x0x(x)x0xsinxx2(x2)21x412
注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。
[解法六]: 令ux 2lim1cosxxsinx222x0limcosu1cosuusinuu0lim12sinusinuucosuu0
limu0cosucosuusinu注:此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。
[解法七]: lim1cosxxsinx222x0limsinx2222x0xcosxsinxlim11x22x012
tgx注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。
(作者: 黄文羊)
高数极限概念篇四
极限分为 一般极限(发散的),还有个数列极限(前者的一种),解决极限的方法如下 1 等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的x次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于ax 等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)
2洛必达 法则(大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)
首先他的使用有严格的使用前提!必须是 x趋近而不是n趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)必须是 函数的导数要存在!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死!)必须是 0比0 无穷大比无穷大!;当然还要注意分母不能为0
洛必达 法则分为3种情况
(1)0比0 无穷比无穷 时候 直接用 ;(2)0乘以无穷 无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了;(3)0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,lnx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 lnx趋近于0)3泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意!)e的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开(对题目简化有很好帮助)
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则 最大项除分子分母!5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。(面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!)
6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)
8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道xn与xn+1的关系,已知xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是x趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式)(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!
x的x次方 快于 x!快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数(画图也能看出速率的快慢)当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法 是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的14当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15单调有界的性质对付递推数列时候使用 证明单调性!
16直接使用求导数的定义来求极限,一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式,看见了有特别注意
(当题目中告诉你f(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!)
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